Question

组合数的计算~~~

C(3,3)+C(3,4)+C(3,5)+...C(3,n+2)等于多少~~要过程~~~

Answer 1

等于C(4,n+3)

看这样一个问题：
从a(1),a(2),a(3),...,a(n+3)这n+3个数中取4个，共有多少种方法？

从组合数的定义可以知道方法数为C(4,n+3)。

从另一个角度考虑：考察取出的这四个数中号码最小的。
如果取出的最小号码的数为a(1)，那么相当于从后面的n+2个数中取3个，
有C(3,n+2)种方法；
如果取出的最小号码的数为a(2)，相当于从后面的n+1个数中取3个，
有C(3,n+1)种方法；
……
如果取出的最小号码为a(n)，相当于从后面的3个数中取3个，
有C(3,3)种方法。
综上，全部方法数为：C(3,n+2)+C(3,n+1)+...+C(3,3)

以上两个方法是从两个角度解决了同一个问题，因此方法数应该相等，
即：C(3,n+2)+C(3,n+1)+...+C(3,3)=C(4,n+3)

Answer 2

有一个公式，
c(n,0)+c(n,1)+c(n,2)+…+c(n,n)=2^n
所以，后面那些组合数的和为
2^(n-1)-c(n-1,0)=2^(n-1)-1
所以，原式=n+2^(n-1)-1