高数问题:为什么不能用以下公式定义广义积分?
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因为绝对收敛的级数可以任意交换求和顺序,而不会影响求和的结果。而条件收敛的级数是不可以交换求和顺序的,否则级数结果会发生改变。你可以想象一下,如果对于一个随机变量,它的期望是取决于求和顺序的,a1+a2+a3+……和(a1+a3+a5+……)+(a2+a4+a6+……)的结果是不同的,这样的求和结果是否具备我们通常说的“均值”的意义?对于广义积分也是一样的。如果只满足条件收敛,那就意味着跟积分顺序有关。我们把整个实轴分成可数个区间I(-∞)、……、I(-2)、I(-1)、I0、I1、I2、I3……,被积函数在这些区间上的积分分别为R(-∞)、……、R(-2)、R(-1)、R0、R1、R2、R3……,这时候原来的广义积分就是这些R的依次求和。如果积分是条件收敛的,也就说明求和的结果和求和的顺序是有关系的,这时候就回到级数的情况了。
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