Question

分块矩阵计算题

Answer 1

这个问题可以有更一般的形式，比如A是m阶的，B是n阶的。一个比较简单的想法就是先把|0 A|，|B 0| 也就是整个矩阵的行列式的第一列与最后一列，第二列与倒数第二列等等互换，如果m+n是偶数，那么这个过程需要 (m+n)/2 步，相应地行列式的值应该乘以 (-1)^(m+n)/2,互换过的矩阵相当于A，B自身分别第一列与最后一列，第二列与倒数第二列，...互换，所以再换回来，方法与上面整体互换一样，于是可以得到下面的结论:
m,n均为偶数，互换要进行 (m+n)/2+m/2+n/2=m+n步，此时行列式的值要乘以
(-1)^(m+n),也就是行列式值不变。
m,n一个奇数，一个偶数，此时要换 m+n-1 步，((m+n-1)/2+(m-1)/2+n/2=m+n-1或者 (m+n-1)/2+m/2+(n-1)2=m+n-1;)行列式的值要乘以(-1)^(m+n-1) ，所以行列式的值仍然不变。
m,n均为奇数，此时要互换 (m+n)/2+(m-1)/2+(n-1)/2=m+n-1 为奇数，所以行列式的值要变号。
本题里就是一个奇数一个偶数，所以要换 2+3-1=4次，行列式值不变。