Question

求函数的值域！

有答案但是不知道是什么意思，求详细的过程，例如是怎么变式的呢？

Answer 1

这是一个二次函数【形如y=Ax²+Bx+C，A≠0的是二次函数】

二次项系数A=-1<0，所以函数开口向下，有最大值

且二次函数取最大值时

x=-B/2A=-2/2X(-1)=1

将x=1代入原函数

y=-1+2+1=2

所以函数最大值是2

所以函数的值域是(-∞,2]

解法二:

y=-x²+2x+1

=-(x²-2x+1-1)+1

=-(x²-2x+1)+1+1

=-(x-1)²+2≤0+2=2

所以函数值域(-∞,2]

追问

请问，解法2的第二步括号内为什么＋1了又－1呢？变式是有规律的嘛？数学基础不是很好，麻烦了。

追答

像这样凑完全平方，就可弄出二次函数的顶点式了

Answer 2

解如下图所示

Answer 3

y=-x²+2x+1
=-(x-2x+1)²+2
=-(x-1)²+2
∵-(x-1)²≤0
∴y=-(x-1)²+2≤2
∴y=-x²+2x+1的值域为：y≤2