Question

判断以下两个无穷级数是否收敛，要详细步骤

Answer 1

(1) lim<n→∞>a<n> = lim<n→∞>nsin(1/n)
= lim<n→∞>sin(1/n)/(1/n) = 1 ≠ 0, 故级数发散。
(2) ∑<n=1,∞>1/[√(n+1)+√n] = ∑<n=1,∞>[√(n+1)-√n]
= √2-1 + √3-√2 + √4-√3 + ... + √(n+1)-√n + ......
= lim<n→∞> √(n+1) - 1 = +∞, 故级数发散。

追问

第一题是什么性质？

为什么等于1不等于0发散？

追答

级数收敛， 一般项极限必为0. 一般项极限不为 0， 级数发散。

追问

是不是因为两个级数相比较，比值为0＜p＜无穷，所以两个级数具有相同敛散性，又因为n分之一发散，所以发散呢？

追答

不是。
级数收敛， 一般项的极限必为 0.
但一般项的极限为 0， 级数还未必收敛，例如 ∑1/n 发散.
然而，若级数一般项极限不是 0， 则必发散。
本题 lima = limnsin(1/n)
= limsin(1/n)/(1/n) = 1 ≠ 0, 故级数发散。

Answer 2

第一个收敛可用狄利克雷判别法
第二个发散分子分母有理化

Answer 3

自己找。。。。