Question

设A ，D是可逆矩阵，B ，C是幂零矩阵，证明分块矩阵 A B 可逆。 C D

Answer 1

设[A
B
[A^{-1}
X
[E
O
C
D]乘以
Y
D^{-1}]等于
O
E]
直接计算左边并与右边比较可得X=-A^{-1}BD^{-1},
Y=-D^{-1}CA^{-1}
由此可知原分块矩阵可逆，其逆矩阵为
[A^{-1}
-A^{-1}BD^{-1}
-D^{-1}CA^{-1}
D^{-1}]