Question

已知|a|≤1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc＋2＝a＋b＋c．

Answer 1

答案： 解析： 　　证明：把所证不等式变形为 　　(bc－1)a＋2－b－c＞0 　　记y＝(bc－1)a＋2－b－c，y是a的一次函数， 　　∴|a|≤1， 　　∴自变量a的取值范围是－1≤a≤1； 　　∵|b|＜1，|c|＜1， 　　∴bc＜1，bc－1＜0． 　　∴在定义域内，y随a的增大而减小． 　　当a取1时，y有最小值 　　bc－1＋2－b－c＝bc－c－b＋1＝(b－1)(c－1)， 　　而(b－1)(c－1)＞0， 　　∴函数y＝(bc－1)a＋2－b－c在定义域内都大于0， 　　即(bc－1)a＋2－b－c＞0， 　　所以abc＋2＞a＋b＋c． 　　 分析： 直接不能清晰证明，分情况讨论又很复杂，只能另想它法．若把原不等式整理变形，构造某一字母的一次函数，用函数的性质进行研究，问题变得别开生面． 　　说明：构造一次函数，利用函数的性质进行研究，使问题巧妙获解．