Question

圆周x2+y2=1上到点(1,1)和(-1,2)的距离平方和最小的点

已知点P(x,y)是圆(x-1)^2+(y-1)^2=1上的点
（1）求3x-4y的最大值和最小值
（2）求(y-2)/(x-3)的取值范围
（3）求(x-2)^2+(y-3)^2的最大值和最小值
,十分紧急,谢

Answer 1

点P(x,y)是圆(x-1)^2+(y-1)^2=1上的点
（1）求3x-4y的最大值和最小值
设3x-4y=p
圆心坐标是(1,1),半径r=1
当直线3x-4y-p=0与圆相切时,p有最值.
相切有:|3*1-4*1-p|/根号(9+16)=1
|-1-p|=5
|p+1|=5
p=4或-6
即3x-4y的最大值是4,最小值是-6.
（2）求(y-2)/(x-3)的取值范围
就是圆上一点到(2,3)的直线斜率.
设(y-2)/(x-3)=k,即y-2=k(x-3)
kx-y+2-3k=0
当直线与圆相切时,有|k-1+2-3k|/根号(9+16)=1
即|1-2k|=5,得k=-2,k=3
即最大值是3,最小值是-2
（3）求(x-2)^2+(y-3)^2的最大值和最小值
就是圆上一点到点(2,3)的距离的平方和.
点(2,3)到圆心(1,1)的距离是根号[(2-1)^2+(3-1)^2]=根号5
所以,圆上一点到(2,3)的距离最大是根号5+1,最小是根号5-1.
所以,(x-2)^2+(y-3)^2的最大值是(根号5+1)^2=6+2根号5,最小是(根号5-1)^2=6-2根号5.