Question

二次函数关于某点对称

函数图像对称问题
如果知道一个函数,若这个函数与另外一个函数关于某条直线（或某点）对称,该如何求另外一个函数

Answer 1

看下面两个例题：
例1：函数y=ax^2+bx+c 与G(x)关于(2,1)对称
求G(x)函数的解析式
【解】
设（x0,y0）是已知函数图象上一点,该点关于（2,1）对称点（x,y）,
则据中点坐标公式
x0+x=4,y0+y=2,即x0=4-x,y0=2-y.
∵（x0,y0）在已知函数图象上,把坐标代入得
2-y=a(4-x)^2+b(4-x)+c,
即y=-ax^2+(8a+b)x-16a-4b-c+2.
这就是函数G(x)的解析式.
例2：Y=X^2+X+1关于X=Y的对称函数的解析式
【解】设A（x,y）在函数Y=X^2+X+1上
则A关于y=x的对称点B（x',y'）在函数Y=X^2+X+1上的对称函数上
AB的中点C在y=x上
C的坐标为[(x+x')/2,(y+y')/2],
C在y=x上
(y+y')/2=(x+x')/2 （1）
直线AB的斜率垂直与y=x,
即kAB*k=-1
kAB=-1
kAB=（y-y'）/(x-x') (2)
由（1）（2）可以解得：
x'=y,y'=x
设A（x,y）在函数Y=X^2+X+1上
将x'=yy'=x代入方程Y=X^2+X+1
所以 x'=y'^2+y'+1
这就是所求的解析式,即x=y^2+y+1.