Question

如图，点A在直线l上，点B在直线l外， 点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于？

如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F．
（1）补全图形；
（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明．

Answer 1

解：（1）如图所示：

（2）∠AEB＝45°＋α．
理由如下：设BC与直线l交于点H，
∵点B与点C关于直线l对称，
∴△ABH≌△ACH，
∴AB＝AC，∠BAH＝∠CAH＝
1
/2
∠BAC＝α，
∴∠BHA＝∠CHA＝90°，BH＝HC，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠ABE＝90°−2α，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠BAE＝
1
/2
[180°−（90°−2α）]＝45°＋α；

（3）线段EF与BC之间的数量关系：BC＝
√2
EF．
理由如下：

如图，过点E做EM⊥BF于M，
∴∠BME＝90°，
∵∠BHA＝∠CHA＝90°（已证），
∴∠BME＝∠AHC，

∵AB＝AC（已证），AB＝BE（已知），
∴AB＝AC＝BE，
在△BHO和△ADO中，
∵∠1＝∠2，∠BDA＝∠BHA＝90°，
∴∠HBO＝∠CAH＝α，
∵在△AHC和△BME中，
∠HBO＝∠CAH
∠BME＝∠AHC
AC＝BE
，
∴△AHC≌△BME（AAS），
∴ME＝HC＝
1/
2
BC，
∵∠BEA＝45°＋α，∠HBO＝α，
∴∠F＝45°，
∴△MEF是等腰直角三角形，
∴ME＝
√2
/2
EF，
∴
1
/2
BC＝
√2
/2
EF，
∴BC＝√
2
EF．