Question

已知a∈(0,𝛑/2)，比较a、tana、sina的大小，并利用三角函数线的相关知识加以证明？

我已经做出来了，各位帮我看看作对没，如果错了请指正

Answer 1

解：

示意图

如图所示是1/4个单位园。OB=1。令∠BOA的角度为a。则有以下几点可知。

1、因为a∈(0,𝛑/2),所以∠BOA为0°-90°之间。

2、此时弧长BA的长度为a。（周长=2ΠR，R=1，则周长=2Π，弧长BA的长为2Π*（a/2Π）=a）

3、过B点做OA垂直线BD，此时BD=sin(a)，（BD=1*sin(a)=sin(a)）

4、延长OB，过A点做垂线，与OB延长线相交于C点，此时AC=tan(a)。（AC/OA=tan(a),因OA=1，所以AC=tan(a)）

5，连接BA，因在3中已知BD垂直于OA，在直角三角形BDA中BA>BD，又因弧长BA>直线BA，故弧长BA>BD。即a>sin(a),因为∠BOA为0°-90°之间，在此区间无论弧长BA为多少，直角三角形BDA依然存在且边于弧长的关系不变，故在a∈(0,/2)时，a>sin(a)恒成立。

6，因为三角形AOC面积为1/2*OA*AC=tan(a)/2，扇形OAB面积为OB*弧长AB=a。因为三角形AOC面积>扇形OAB面积,，所以有tan(a)/2>a，可推出tan(a)>a，因为∠BOA为0°-90°之间，在此区间无论弧长BA为多少，直角三角形OAC依然存在且面积于扇形OBA的关系不变，故在a∈(0,/2)时，tan(a)>a恒成立

7，由5，6可以推出在a∈(0,/2)时，tan(a)>a>sin(a)恒成立

Answer 2

利用单位圆证明

追问

你的方法可以，不过a是个区间，应该在某个区间，tana是小于𝛑/2的

追答

1/4单位圆去掉两个端点。
α不是区间（区间是集合）而是变量，α∈(0,𝛑/2)只是说明α的取值范围
tanα是不是小于𝛑/2的，α∈(0,𝛑/2)，α→ 𝛑/2，tanα→+∞
关键的问题是你的证明是错误的，可以说基本没有给出证明

Answer 3