Question

将函数f(x)=1/x^2-4x-5展开成x的幂级数并求该级数的收敛域

Answer 1

问：将函数f(x)=1/x^2-4x-5展开成x的幂级数并求该级数的收敛域

答：亲， 您好， 我们将函数 $f(x) = \frac{1}{x^2-4x-5}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求该级数的收敛域。 首先，我们进行因式分解，得到： $f(X) = \frac{1}{X^2 - 4X - 5} = \frac{1}{(X^2 - 2^2) - 2^2 - 5} = \frac{1}{(X^2 - 2X + 2^2) - 2^2 - 5} = \frac{1}{(X - 2)^2 - 3^2} = \frac{1}{(X - 2 + 3)(X - 2 - 3)} = \frac{1}{(X + 1)(X - 5)}$ 然后，我们将其展开为 $x$ 的幂级数： $f(X) = (X + 1)^{-1} * (X - 5)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n X^n (-1)^n X^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n X^{2n} (-1)^n X^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n X^{4n}$ 接下来，我们求解级数的收敛域。由于级数是交错的，我们知道收敛域为： $X + 1 \neq 0, X - 5 \neq 0, X \neq -1, X \neq 5$ 即 $X \neq -1$ 和 $X \neq 5$ 以外的所有实数。