Question

x趋于1时,lim sin πx与πx为什么不是等价无穷小?

Answer 1

x趋于1时，lim sin πx与πx不是等价无穷小的原因：sinπx=sin（π-πx），x趋于1时，π-πx趋于零，因此x趋于1时，sin（π-πx）等价于π-πx。

x→1，sin（πx）是无穷小，πx不是无穷小，因此不能替换，但是x→1，sin（πx）=sin（π（1-x））是无穷小，π（1-x）是无穷小。

且sin（π（1-x））与π（1-x）是等价无穷小替换可得

x→1，lim（1-x^2）/sin（πx）

=lim（1-x^2）/sin（π（1-x））

=lim（1-x^2）/（π（1-x））

=lim（1+x）/π=2/π

等价无穷小替换

是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。