Question

第一题，求微分方程y"+y=3x^2的通解，第二题：求微分方程y'-(y-x)^2=1的通解

就是大学所学的高数了，可是我自己忘了，所以请你们帮忙一下哈

Answer 1

解：1。∵原方程的特征方程是r²+1=0,则特征根是r=±i
∴原方程的齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)
设原方程的特解是y=Ax²+Bx+C
∵y'=2Ax+B,y''=2A
代入原方程得2A+Ax²+Bx+C=3x²
==>A=3,B=0,2A+C=0 (比较同次幂的系数)
==>A=3,B=0,C=-6
∴原方程的特解是y=3x²-6
故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+3x²-6 (C1,C2是积分常数)
2。设u=y-x,则y'=u'+1
代入原方程得u'+1-u²=1
==>u'-u²=0
==>du/u²=dx
==>1/u=-x+C (C是积分常数)
==>u=1/(C-x)
==>y-x=1/(C-x)
故原方程的通解是y=x+1/(C-x) (C是积分常数)

Answer 2

第一个，首先求特征值（T~2+1=0），为正负i，那么齐次方程的解为C1SinX+C2CosX(C1,C2为常数)。再求特解，设y*=AX~2+BX+C，代入原方程求得A=3.B=-6.C=0，则原方程的解为齐次方程的解再加上特解：C1SinX+C2CosX+3X~2-6X。
第二个,设U=X+Y,则U`＝1+Y`,原式化为：1-U`-U~2＝1,即dU/dX＝U~2，是可以分享变量的一阶方程，不难解出1/U=-X+C,再把U=X+Y代入，即是通解。