Question

一道数学题（急！！！帮帮忙！！！）

已知如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱PC的中点为E。

求证：PA∥截面BDE，对角面PAC⊥截面BDE。（答的好再加分）

Answer 1

1.连接EO，由于E和O均为中点，故EO为三角形APC的中位线，故EO∥AP，又EO为面EDB上直线，AP为面EDB外直线，故AP∥面EDB
2.因为P-ABCD为正四棱锥，故△PDB为等腰△，PA=PB，DO=OB，故PO⊥DB，同理，在三角形PAC里，PO⊥AC，又AC交BD与O，故PO⊥面ABCD，又PO属于面PAC，故对角面PAC⊥截面BDE

Answer 2

答案
证明：（1）连接AC，交BD于O，连接OE，
∵正四棱锥P-ABCD，∴O是AC的中点，
又E是PC的中点，∴OE∥PA，
OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）连接OP，∵正四棱锥P-ABCD，∴AC⊥BD，OP⊥BD，
又∵AC∩PO=O，AC、PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
又BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PAC．
解析
分析：（1）在平面内作已知直线的平行线，利用线线平行证线面平行即可．
（2）根据面面垂直的判定定理，先证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直．
点评：本题考查线面平行的判定及面面垂直的判定．

Answer 3

1、连接OE，因为E是PC重点，O是AC中点,所以OE是三角形PAC中位线，所以OE平行于AP，所以AP平行于BED
2、因为E是PC中点，所以PC垂直于DE和BE，所以PC垂直于平面BED，所以PAC垂直于BED

Answer 4

连接EO，EO为中位线，所以EO平行于PA，所以PA平行于面BDE。
连接PO，因为是正四棱锥，所以PO垂直于BD，又因为BD垂直于AC，所以BD垂直于面PAC，所以面BDE垂直于面PAC。

Answer 5

连接EO。 在平面PAC上，PA // EO (因为E是中点）。 所以PA// 平面BDE

Answer 6

以O建系平行找线段用向量可以整，垂直设法向量，垂直可以整