Question

给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点

给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点
设直线l的斜率为l求以AB为直径的圆的方程
设lFAl=2lFBl 求直线l的方程

Answer 1

解：(1)由y^2=4x得焦点F(1,0)，所以直线l的方程为:y=x-1,联立方程组{y^2=4x;y=x-1→得x=3±2√2,y=2±2√2
所以A(3+2√2,2+2√2),B(3-2√2,2-2√2),所以半径|AB|=8,故半径r=1/2|AB|=4，圆心(3,2),故圆的方程为:
(x-3)^2+(y-2)^2=16
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),又题意知直线AB的斜率存在，设方程为y=k(x-1),
联立方程组{y^2=4x;y=k(x-1)→k^2x^2-x(2k^2+4)+k^2=0所以x1+x2=(2k^2+4)/k^2,x1*x2=1
又由|FA|=2|FB|，结合抛物线的定义有(x1+1)/(x2+1)=2得x1-2x2=1
联立方程组{x1+x2=(2k^2+4)/k^2；x1*x2=1；x1-2x2=1得x1=2,x2=1/2,k=±2√2
所以所求直线方程为:y=±2√2(x-1)

Answer 2