Question

已知△ABc中，O点是∠ABC，∠ACB平分线的交点， 0D⊥BC于D，△ABc的周长为20，0D

已知△ABc中，O点是∠ABC，∠ACB平分线的交点， 0D⊥BC于D，△ABc的周长为20，0D=5，则△ABC的面积为？

Answer 1

解：按照我说的做辅助线：连接AO，过O分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E,F。
∵O是角平分线的交点，∴AO必然是∠BAC的角平分线。
极易证明△AEO≡△AFO，以及△BEO≡△BDO、△CDO≡△CFO（有两个角分别相等，一条公共边。）
解法一：由三角形角平分线交线性质易得OE=OF=OD=5，即OE是三角形内切圆的半径。
由三角形内切圆性质，套用三角形面积计算公式S=(a+b+c)r/2
即S△ABC=(AB+BC+AC)OE/2=20*5/2=50
解法二：由三角形角平分线交线性质易得OE=OF=OD=5，
由图知，S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC
S△AOB=1/2AB*OE，同理S△AOC=1/2AC*OF，S△BOC=1/2BC*OD
则S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC
=1/2(AB*OE+AC*OF+BC*OD)
=1/2OE(AB+AC+BC)
=50