已知an=∫(0→1)x^2(1-x)^ndx,证明级数∑(n=1→∞)an收敛，并求这个级数的和？
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简单分析一下，详情如图所示
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令t=1-x
an=∫(0→1)x^2(1-x)^ndx=∫(0->1) (1-t)^2 t^ndt
=∫(0->1) [t^n-2t^(n+1)+t^(n+2)]dt
=1/(n+1)-2/(n+2)+1/(n+3)
=[1/(n+1)-1/(n+2)]-[1/(n+2)-1/(n+3)]
所以∑an=(1/2-1/3)-(1/3-1/4)+(1/3-1/4)-(1/4-1/5)+....+[1/(n+1)-1/(n+2)]-[1/(n+2)-1/(n+3)]+...
=lim{1/6-[1/(n+2)-1/(n+3)]}
=1/6
所以an收敛，且∑an=1/6
an=∫(0→1)x^2(1-x)^ndx=∫(0->1) (1-t)^2 t^ndt
=∫(0->1) [t^n-2t^(n+1)+t^(n+2)]dt
=1/(n+1)-2/(n+2)+1/(n+3)
=[1/(n+1)-1/(n+2)]-[1/(n+2)-1/(n+3)]
所以∑an=(1/2-1/3)-(1/3-1/4)+(1/3-1/4)-(1/4-1/5)+....+[1/(n+1)-1/(n+2)]-[1/(n+2)-1/(n+3)]+...
=lim{1/6-[1/(n+2)-1/(n+3)]}
=1/6
所以an收敛，且∑an=1/6
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