Question

已知关于x的方程x²+(2k+1)x+k²-2=0的两实根的平方和等于11则k的值为

已知关于x的方程x²+(2k+1)x+k²-2=0的两实根的平方和等于11则k的值为

Answer 1

答：

关于x的方程x²+(2k+1)x+k²-2=0的两实根的平方和等于11

设两个根为a和b，则：a^2+b^2=11
根据韦达定理有：
a+b=-(2k+1)
ab=k^2-2
判别式=(2k+1)^2-4(k^2-2)>=0
所以：4k^2+4k+1-4k^2+8>=0
解得：k>=-9/4

因为：
a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab
=(2k+1)^2-2(k^2-2)
=4k^2+4k+1-2k^2+4
=2k^2+4k+5
=11
所以：2k^2+4k-6=0
所以：k^2+2k-3=0
所以：(k+3)(k-1)=0
解得：k=-3或者k=1
因为：k>=-9/4，k=-3不符合舍弃
所以：k=1

Answer 2

设两根分别为x1和x2，由韦达定理，得：x1+x2=-(2k+1)，x1*x2=k²-2
那么x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1*x2
=(2k+1)²-2(k²-2)
=4k²+4k+1-2k²+4
=2k²+4k+5
=11
那么k²+2k-3=0，(k-1)(k+3)=0，所以k=1，或k=-3
而判别式Δ=(2k+1)²-4(k²-2)=4k+9≥0，即k≥-9/4
所以k=-3要舍去，最终k=1

望采纳

Answer 3

设两根分别为α和β，由韦达定理，得：α+β=-(2k+1)，αβ=k²-2
那么α²+β²=(α+β)²-2αβ
=(2k+1)²-2(k²-2)
=4k²+4k+1-2k²+4
=2k²+4k+5
=11
那么k²+2k-3=0，(k-1)(k+3)=0，所以k=1，或k=-3
而判别式Δ=(2k+1)²-4(k²-2)=4k+9≥0，即k≥-9/4
∴k=-3舍去，k=1