Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．（1）试说明：D是BC的中点；（2）若AB=13，BC=10，AD=12，试猜测四边形ADCE的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AF ∥ BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEB中， ∵ ∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF=BD， ∵AF=DC， ∴BD=DC， ∴D是BC的中点； （2）四边形ADCF是矩形． 证明：∵AF=DC，AF ∥ BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB=13，BC=10，AD=12， ∴BD= 1 2 BC=5， ∴AB 2 =BD 2 +AD 2 ， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCF是矩形．