Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（2）求证：PE⊥AF．

Answer 1

（1）解：当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC．
理由如下：∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE?平面PDC，
∴PE⊥AF．