Question

已知函数f（x）=ax2-2x+1（a≥0）．（1）试讨论函数f（x）在[0，2]的单调性；（2）若a＞1，求函数f（x）

已知函数f（x）=ax2-2x+1（a≥0）．（1）试讨论函数f（x）在[0，2]的单调性；（2）若a＞1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间（0，2）上只有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1，在[0，2]上是减函数．
当a＞0时，函数f（x）=ax²-2x+1的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=

1

a

，
若

1

a

≥2，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是减函数．
若0＜

1

a

＜2，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，

1

a

]上是减函数，在[

1

a

，2]上是增函数．
综上，当 a=0或

1

a

≥2 时，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是减函数；
当0＜

1

a

＜2，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，

1

a

]上是减函数，在[

1

a

，2]上是增函数．
（2）若a＞1，则0＜

1

a

＜1，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，

1

a

]上是减函数，在[

1

a

，2]上是增函数，
故函数的最大值为 f（2）=4a-3，最小值为 f（

1

a

）=1-

1

a

．
（3）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在区间（0，2）上只有一个零点x=

1

2

，符合题意．
当a＞0时，
①若函数f（x）在区间（0，2）上有两个相等的零点（即一个零点），
则

△＝4?4a＝0 0＜ 1 a ＜2

，解得a=1，符合题意．
②若函数f（x）有二个零点，一个零点在区间（0，2）内，另一个零点在区间（0，2）外
则f（0）f（2）＜0，即4a-3＜0，得0＜a＜

3

4

．
综上：f（x）在区间（0，2）上有一个零点时a的取值范围为0≤a＜

3

4

，或a=1．