Question

（本小题满分12分）已知函数 , .(I)证明:当 时,函数 在其定义域内为单调函数;(II)若函数 的图象在点

（本小题满分12分）已知函数 , .(I)证明:当 时,函数 在其定义域内为单调函数;(II)若函数 的图象在点(1, )处的切线斜率为0,且当 时, ≥ 在 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

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Answer 1

(II) ≤1

(I) 易知 f ( x )的定义域为 , .当 k =0时, ,故 f ( x )在 内单调递减;当 k ∈ 时, ,故 f ( x )在 内单调递增;当 k ∈ 时,令 ,则 ,其对称轴 , ∴ 在 内单调递减,则 ,故 f ( x )在 内单调递减.综上所述, 当 时, 函数 在其定义域内为单调函数. (II)由题意知, ,∴ k =1,故 , ,∴ , .易知 x ∈(0,1)时, , ∴ h ( x )在0 上有最小值 h (1)=1.令 ,则 ,由 ,∴ 在0 上恒成立,即 在0 上单调递增, 其最大值为 .依题意得:1≥ , ∴ ≤1. 又 , 故 ≤1.