Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA= BC（a＞0），(Ⅰ)当a=1时，求证：BD⊥PC； (

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA= BC（a＞0），(Ⅰ)当a=1时，求证：BD⊥PC； (Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值。

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Answer 1

解：(Ⅰ)当a=1时，底面ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又因为BD⊥PA， ∴BD⊥面PAC， 又 ， ∴BD⊥PC。
(Ⅱ) 因为 两两垂直， 分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 如图所示，令AB=1，可得BC=a， 则 ， 设BQ=m，则 ， 要使PQ⊥QD， 只要 ， 即 ， 由 ，此时m=1， 所以BC边上有且只有一个点Q， 使得PQ⊥QD时，Q为BC的中点，且a=2， 设面PQD的法向量 ， 则 ， 解得 ， 取平面PAD的法向量 ， 则 的大小与二面角A-PD-Q的大小相等， 所以 ， 因此二面角A-PD-Q的余弦值为 。