Question

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（1）若a=1，b=-1，求函数f（x）的单调区间；（2）若a≥0，求函数f（x）的单调

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（1）若a=1，b=-1，求函数f（x）的单调区间；（2）若a≥0，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）a=1，b=-1时，
f（x）=x²-x-lnx，
∴f′（x）=2x-1-

1

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）由f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-

1

x

又a≥0，
故当a=0时，f′（x）=

bx?1

x

，
若b=0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；
若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜

1

b

，即函数在（0，

1

b

）上是减函数，在（

1

b

，+∞）上是增函数、
所以函数的单调递减区间是（0，

1

b

），单调递增区间是（

1

b

，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax²+bx-1=0
由于△=b²+8a＞0，故有
x₂=

?b+ b2+8a

4a

，x₁=

?b? b2+8a

4a

显然有x₁＜0，x₂＞0，
故在区间（0，

?b+ b2+8a

4a

）上，导数小于0，函数是减函数；
在区间（

?b+ b2+8a

4a

，+∞）上，导数大于0，函数是增函数
综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；
当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，