Question

如图，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，（1）若∠ABC=20°，∠ACB=80°，则∠B

如图，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，（1）若∠ABC=20°，∠ACB=80°，则∠BPC=______．（2）若∠A=70°，则∠BPC=______．（3）试猜想∠BPC与∠A的数量关系，并证明你的猜想的正确性．

Answer 1

（1）∵∠ABC=20°，∠ACB=80°，
∴∠DBC=180°-20°=160°，∠BCE=180°-80°=100°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠DBC=80°，∠PCB=

1

2

∠BDE=50°，
∴∠BPC=180°-80°-50°=50°．
故答案为：50°；

（2）∵∠BCP=

1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠CBA），∠CBP=

1

2

∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB），
∴∠BCP+∠CBP=∠A+

1

2

（∠CBA+∠ACB），
又∵∠BCP+∠CBP=180°-∠BPC，∠CBA+∠ACB=180°-∠A，
∴180°-∠BCP=∠A+

1

2

（180°-∠A），
∵∠A=70°，
∴∠BPC=55°．
故答案为：55°；

（3）猜想：∠A=180°-2∠BPC．
同（2）可得，180°-∠BCP=∠A+

1

2

（180°-∠A），
即∠A=180°-2∠BPC．