Question

已知在（x-23x）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2

已知在（x-23x）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+9c 2n+81c 3n+…+9n-1c nn的值．

Answer 1

（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是

C

4 n

?(?2)4：

C

2 n

?(?2)2=56：3，解得n=10．
因为通项：T_r+1=

C

r 10

?（-2）^r?x5?

5r

6

，当5-

5r

6

为整数，r可取0，6，于是有理项为T₁=x⁵和T₇=13400．
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则

C r 10 ?2r ≥C r 10 ?2r?1 C r 10 ?2r ≥C r+1 10 ?2r+1

．
解得

r≤ 22 3 r≥ 19 3

，于是r只能为7．
所以系数绝对值最大的项为T₈=-15360x?

5

6

．
（3）n+9c

2 n

+81c

3 n

+…+9^n-1c

n n

=10+9

C

2 10

+9²?

C

2 10

+…+9^10-1?

C

10 10

=

9 ?C 1 10 +92 ?C 2 10 +93 ?C 3 10 +…+910 ?C 10 10

9

=

(1+9)10?1

9

=

1010?1

9

．