Question

高中数学追加100分啊

Answer 1

（1）知道了方向向量，也就知道了此处切线的斜率。所以f′(2)=1/2-2a×2=-3/2。所以a=1/2。
所以f(x)=lnx-x²/2。令f′(x)=0，得：1/x-x=0，得：x=1。所以当x=1时有极大值-1/2。
（2）g(x)=lnx-ax²-2x，令g′(x)=1/x-2ax-2。由题意可得：g′(x)＞0有解，也即1/x-2ax-2＞0
有解，因为x＞0，所以也就是说1-2ax²-2x＞0有解，即2ax²+2x-1＜0有解。
当a=0时，x＜1/2，有解。当a≠0时，有△=4+8a＞0，a＞-1/2。所以在这个条件下a的范围为
a＞-1/2。
又由题意得：f′(x)=1/x-2ax=(1/x)(1-2ax²)，1/x＞0，所以当a≤0时，f′(x)≥0。函数递增，所以
只要f(√e)＞0即可，即f(√e)=1/2-ea＞0，即a＜1/2e，所以a≤0时，成立。
当1-2ax²在x∈[√e，e]时，横大于0，即a＜1/2e²时，成立。
当a≥1/2e²，要使结论成立，必须f(√e)、f(e)都大于0。所以a＜1/e²。所以1/2e²≤a＜1/e²
所以综上-1/2＜a＜1/2e。