Question

f(x)=lnx，按x—2的幂展开，带有佩亚诺余项的三阶泰勒公式

Answer 1

即f(x)=lnx 展成 x0=2处的带有佩亚诺余项的三阶泰勒公式
显然f'(x)=1/x，f"(x)= -1/x^2，f'''(x)= 2/x^3
那么f'(2)=1/2，f"(x)= -1/4，f'''(x)= 1/4
三阶泰勒公式为
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+f'''(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
于是按x-2的幂展开得到
f(x) = lnx = ln[2 + (x-2)]
=ln2 +ln[1 +(x-2)/2 ]
= ln2 + (x-2)/2 - (x-2)²/(4*2!) + (x-2)³/(4*3!) * +o( (x-2)^n )
= ln2 + (x-2)/2 - (x-2)²/8 + (x-2)³/24 * +o( (x-2)^n )