Question

怎样理解唯一分解定理，如何证明，这个定理有什么用

Answer 1

为了真正地证明，分解质因数的方法是唯一的，我们将再次用到反证法。假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”，一定有一个最小的数M，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：
M = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs

下面我们将看到，这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。不妨设P1 <= P2 <= … <= Pr, Q1 <=
Q2 <= … <= Qs。显然，P1是不等于Q1的，不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。不妨设P1
< Q1，那么我们用P1替换掉等式最右边中的Q1，得到一个比M更小的数T = P1 * Q2 * Q3 * … * Qs。令M’ = M –
T，我们得到M’的两种表达：
M’ = (P1 * P2 * … * Pr) – (P1 * Q2 * … * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr – Q2 * … * Qs) …… (1)
M’ = (Q1 * Q2 * … * Qs) – (P1 * Q2 * … * Qs) = (Q1 – P1) * Q2 * … * Qs ……………… (2)

由于T比M小，因此M’是正整数。从(1)式中我们立即看到，P1是M’的一个质因子。注意到M’比M小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知P1也应该出现在表达式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个Q，于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但这就意味着，(Q1-P1)/P1除得尽，也就是说Q1/P1-1是一个整数，这样Q1/P1也必须得是整数。我们立即看出，P1必须也是Q1的一个因子，这与Q1是质数矛盾了。这说明，我们最初的假设是错误的。