Question

已知α、β、γ是三角形的三个内角，tanγ＝3,sinγ＝3sin（α-β）,则tanβ等于多少

Answer 1

α、β、γ是三角形的三个内角，tanγ＝3,sinγ＝3sin（α-β）,则tanβ
α=180-β-γ,sin（α-β）=sin（180-2β-γ）=sin（2β+γ）=sin2βcosγ+cos2βsinγ
sinγ＝3sin（α-β）= 3(sin2βcosγ+cos2βsinγ）
1＝ 3(sin2βcosγ+cos2βsinγ）/sinγ =3(sin2β/tanγ+cos2β）
即sin2β+3cos2β=1
sin2β^2+cos2β^2=1
联立，解得sin2β=-4/5，con2β=3/5，tan2β=-4/3
或者sin2β=1，con2β=0，tanβ=1

如果sin2β=1，con2β=0，tanβ=1
tanα=-tan(β+γ)=-((tanβ+tanγ)=)/(1-tanβtanγ))=2>tanβ
那么α>β,sin（α-β）>0，合理

如果sin2β=-4/5，con2β=3/5，tan2β=-4/3
3(sin2βcosγ+cos2βsinγ）=
tan2β= 2tanβ / 1 - tan^2β
解得tanβ=-1/2或者2
如果=-1/2，那么β>145，而γ>45，则α<0，不合理，舍去
则为2
那么tanα=-tan(β+γ)=-((tanβ+tanγ)=)/(1-tanβtanγ))=1<tanβ
那么α<β,sin（α-β）<0，不合理
所以tanβ=1