Question

三角形ABC中，AB=AC,D为BC上的一点求证AB的平方减AD的平方=BD×DC

Answer 1

AB平方+BD平方-2*AB*BD*COSθ=AD平方(θ为角ABC,这个是每个三角形都有的性质,也可以证明,证明的话只要在三角形里作高就很容易得到)
上式变形得:AB平方-AD平方=2*AB*BD*COSθ-BD平方
要证:AB平方-AD平方=BD*DC
也就是要证:2*AB*BD*COSθ-BD平方=BD*DC
(B与D重合时,即BD为0时结论显然成立)
当BD不为0时,即D与B不重合时:
也就是要证:2*AB*COSθ-BD=DC
(上式两边同时除以BD)
也就是要证:2*AB*COSθ=DC+BD
也就是要证:2*AB*COSθ=BC
而已知AB=AC,所以2*AB*COSθ=BC显然成立
所以AB平方-AD平方=BD*DC得证
或
过A做底面的垂线AG角BC于G
所以就有：
AB^2=BG^2+AG^2
AD^2=AG^2+DG^2
那么:AB^2-AD^2=BG^2-DG^2=(BG+DG)(BG-DG)
又AB=AC,三角形是等腰三角形,
AG垂直BC
所以AG同时也是BC的中线
那么就有BG=CG
所以再代回去就有:
AB^2-AD^2=BG^2-DG^2=(BG+DG)(BG-DG)
=(CG+DG)(BG-DG)
=CD*BD

Answer 2

设ad垂直于bc,满足ab方减ad方等于bd方。若d在bc上任意移动到d1点，在三角形ad1d中，ad1方等于d1d方加ad方。ab方减ad1方=ab方减(ad方加dd1方)=bd方减dd1方=(bd加dd1)(bd减dd1)，因为bd=cd,易得原式=cd1乘bd1。