Question

秩相等的两个向量组一定等价吗

Answer 1

秩相等的两个向量组不一定等价，等价的向量组包含的向量个数不一定相同。

等价向量组的性质

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

向量解释：

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。

给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

以上内容参考：百度百科-等价向量组

Answer 2

不一定，例如：向量(0，1，0)和向量(1，0，0)都可以构成秩为1的向量组，但是两者不等价。

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

扩展资料：

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。

给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

参考资料来源：百度百科-等价向量组

Answer 3

任意两个不同向量组成的向量组不等价

如图，r1与r2构成一个向量组，秩为2，r2与r3构成一个向量组，秩同样为2，但是r3不能由r1和r2线性叠加表示，因为r3与他们俩不共面。

但是，如果现在整个线性空间就是二维的，则任意加进来的其他向量可由r1和r2线性表示。

所以，如果两个向量组的秩都等于整个线性空间的秩，则都组成线性空间的基，必互相等价。否则（如果秩小于整个线性空间的秩）未必成立。

神奇啊，我们只能看到三维，所以只能以三维形象思考，试想如果有四个向量，其中三个不共面向量撑起了我们的三维空间，另外一个向量伸到了第四维，如果把这跟伸到第四维的向量与前三个中的任意两个组成一个向量组，则它们三个又撑起了一个三维空间，而这个三维空间却是与我们三维空间不同的基，它只与我们的三维空间有一个交面，那个三维空间里会是怎样的存在？

Answer 4

秩相等的两个向量组，并且其中一个向量组能由另一个向量组线性表出（注意只要有其中一个就可以，另一个向量组不必由此向量组线性表示），就可以推出二者等价。比方说，向量组A和向量组B，二者秩相等，向量组A 能由向量组B线性表出，那么向量组B 也能由向量组A线性表出。证明：由于秩相等，所以极大线性无关组的向量个数相等，再由替换公式证明两个极大线性无关组等价，再根据极大线性无关组与它的向量组等价，推出2个向量组等价

Answer 5

不一定,例如：向量
(0,1,0)和向量(1,0,0)都可以构成秩为1的向量组,但是两者不等价
。