Question

矩阵论问题: 一个矩阵和一个可逆矩阵"相似"/"合同"，有什么意义的差别?

Answer 1

1.合同是针对对称矩阵来说的，也就是在二次型里面才有，两个矩阵的正惯性指数相等就合同
2.矩阵等价:与等价矩阵能够经过初等变换变成矩阵；
3.相似:
存在可逆矩阵，使得a=m^(-1)*b*m。实对称矩阵相似就必合同。
4.总而言之:
1）矩阵等价:
paq=b,p、q为可逆，就是a等价b
2）矩阵相似:
p^-1ap=b,就说a相似b
3）矩阵合同:
a、b均为实对称矩阵，若存在可逆矩阵c
c^tac=b,就说c合同b
5.他们之间的关系
等价是合同或者相似得必要条件。
相似不过是有可逆的矩阵使得ap=pb
合同是存在正交阵让上面的式子成立，如果有条件是a实对称阵，则可以找到一个特殊的p，这个p的可逆等于它的正交阵，所以才有实对称矩阵相似就必合同
如果a不是实对称则相似是相似，合同册笑是合同，2者毫无瓜葛
6.何时是一个概念:
实对称矩阵一定能相似对角化（就是与对角阵相似悄皮）
普通矩阵不一定能相启姿差似对角化
a与b合同定义：a=p'*b*p;
a与b相似的定义：a=inv(p)*b*p;【inv是求逆操作】
所以当p是酉矩阵的话（p*p'=i），合同等价于相似。

Answer 2

就兄坦说A相似B
3）矩阵合同:
A、B均为实对称矩阵.他们之间的关系
等价是合同或者相似得必要条件:与等价矩阵能够判陵经过初等变换变成矩阵,就说C合同B
51.合同是针对对称矩阵来说的，两个矩阵的正惯性指数相等就合同
2.矩阵等价，若存在可逆矩阵C
C^TAC=B；
3.相似，就是A等价B
2）矩阵相似:
P^-1AP=B:
1）矩阵等价:
PAQ=B,P、Q为可逆:
存在可逆矩阵，使得A=M^(-1)*B*M。实对称矩阵相似就必合同。
4.总而言之，也就是在二次型里面才有;
A与B相似的定义：A=inv(P)*B*P。
相似不过是有可逆的矩阵使得AP=PB
合同是存在正交阵让上面的式子成立，如果有条件是A实对称阵，则可以找到一个特殊的P，这个P的可逆等于它的正交阵，所以才有实对称矩阵相似就必合同
如果A不是实对称则相似是相似，合同是合同，2者毫无瓜葛
6.何时是一个掘尘戚概念:
实对称矩阵一定能相似对角化（就是与对角阵相似）
普通矩阵不一定能相似对角化
A与B合同定义：A=P'*B*P