Question

四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC垂直底面ABCD,已知...

四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC垂直底面ABCD,已知ABC=45,AB=2,BC=2√2,SA=SB=√3

Answer 1

作SE⊥BC,连接AE
∵面SBC⊥面BD,且两面交于线BC
SE⊥
BC
∴SE⊥面BD,SE⊥AE
∴SE2+AE2=AS2
(两直角边的平方和=斜边的平方）
SE2+BE2=BS2
（同理）
∵SA=SB
∴BE=AE
∵角ABC=45度
∴角BEA=90度,即BE⊥AE,
∴BC⊥AE
BC⊥SE
∴BC⊥面ACS
故BC⊥SA
或
作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.
(2)由(1)知,SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由AD=BC=2√2,SA=√3,AO=√2,得SO=1,SD=√11.△SAB的面积S1=1/2AB·√[SA^2-(1/2AB)^2]=√2.连结DB,得△DAB的面积S2=1/2AB·ADsin135°=2.设D到平面SAB的距离为h,由于V(D-SAB)=V(S-ABD),得1/3h·S1=1/3SO·S2,
解得h=√2.设SD与平面SAB所成角为α,则sinα=h/SD=√2/√11=√22/11.所以,直线SD与平面SAB所成的角为arcsin√22/11.