Question

二阶常微分方程解法

Answer 1

这是一维热传导方程的初边值问题，可以用分离变量法求解
令t(x,τ)=X(x)*T(τ)，代入方程，得：
X*T'=aT*X''
令-r=T'/aT=X''/X
则T'+raT=0，X''+rX=0，且X'(0)=0，-λX'(δ)=h[X(δ)-X(∞)]
当r<=0时，X(x)=C1*e^[√(-r)x]+C2*e^[-√(-r)x]
X'=√(-r)C1*e^[√(-r)x]-√(-r)C2*e^[-√(-r)x]
X'(0)=√(-r)C1-√(-r)C2=0，得：C1=C2
即X(x)=C*e^[√(-r)x]+C*e^[-√(-r)x]
X'=√(-r)C*e^[√(-r)x]-√(-r)C*e^[-√(-r)x]
-λ√(-r)C*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]}=hC*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}
等式左边为有界量，右边{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}为无穷量，所以C=0
所以X(x)=0
当r>0时，X(x)=C1*cos(√r*x)+C2*sin(√r*x)
X'=-C1*√r*sin(√r*x)+C2*√r*cos(√r*x)
X'(0)=C2*√r=0，得：C2=0
即X(x)=C*cos(√r*x)
X'=-C*√r*sin(√r*x)
λC*√r*sin(√r*δ)=hC*[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]
等式左边为定值，右边[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]为不定值，所以C=0
所以X(x)=0
综上所述，X(x)=0，即t(x,τ)=X(x)*T(τ)=0