Question

初三圆的知识点有哪些？

Answer 1

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点、直线、圆和圆的位置关系

1、点和圆的位置关系

①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径；

②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径；

③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径。

2、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3、外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4、直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5、直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

①直线l和⊙O相交<=>d<>；

②直线l和⊙O相切<=>d=r；

③直线l和⊙O相离<=>d>r。

三、正多边形和圆

1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。

3、正多边形的有关概念：

(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。

(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。

(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。

(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

4、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆。

(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。

四、有关圆的公式

（1）给直径求圆的周长:c=πd。

（2）给半径求圆的周长:c=2πr。

（3）给直径求圆的半径:r=d÷2。

（4）给周长求圆的半径:r=c÷π÷2。

（5）给半径求圆的直径:d=2r。

（6）给周长求圆的直径:d=c÷π。

（7）给直径求半圆周长:c=πr+d。

（8）给半径求半圆周长:c=πr+2r。

（9）给半径求圆的面积:s=πr²。

（10）给直径求圆的面积:s=π(d÷2)²。

（11）给周长求圆的面积:s=π(c÷π÷2)²。

（12）给半径求半圆面积:s=πr²÷2。

（13）给直径求半圆面积:s=π(d÷2)²÷2。

（14）给大圆和小圆半径求圆环面积:s=π(R²-r²)。

（15）给大圆和小圆半径求圆环面积:s=πR²-πr²。

圆的定理有切线定理、切线长定理、切割线定理、割线定理、垂径定理、弦切角定理、垂径定理等。

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧

2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

3、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

4、切线定理：垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

6、切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A、B两点，则有pC²=pA·pB。

7、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

8、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

9、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）

10、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

11、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

12、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

13、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

15、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

16、定理：把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

17、有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。

18、d是圆心距，R、r是半径。

①两圆外离，d>R+r

②两圆外切，d=R+r

③两圆相交，R-r<dr)

④两圆内切，d=R-r(R>r)