Question

根号下e^x-1的不定积分是什么？

Answer 1

答案：

设根号(e^x-1) =t 。

t^2 +1=e^x 。

x=ln(t^2 +1) 。

代入得 。

∫t dln(t^2 +1) 。

=∫2t^2/(t^2 +1) dt 。

=2*∫t^2/(t^2 +1) dt 。

=2*∫(t^2 +1-1)/(t^2 +1) dt 。

=2*∫[1 -1/(t^2 +1)] dt 。

=2*[∫1 dt -∫1/(t^2 +1) dt 。

=2*(t -arctant) +C(常数) 。

=2*【(e^x-1) -arctan(e^x-1)】+C。

=2*【e^x -arctan(e^x-1)】+C(常数都归纳到C)。

分部积分法：

不定积分设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu。

两边积分，得分部积分公式。

∫udv=uv-∫vdu。⑴。

称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。

一般来说，u,v选取的原则是：

1、积分容易者选为v。

2、求导简单者选为u。

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x。

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和。问题转化为计算真分式的积分。

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。