Question

对称矩阵A可逆的原因是什么?

Answer 1

因为A和A转置行列式相等，因此均为正负1，A的行列式不为0，因此A可逆。

相关性质：

1、（A^T）^T=A

2、（A+）B^T=A^T+B^T

3、（kA）^T=kA^T

4、（AB）^T=B^TA^T

5、转置矩阵的行列式不变，将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。

相关的应用：

线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示。

而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群。

而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。