Question

如何解微分方程？

Answer 1

解:请把具体题目发过来，解微分方程为dy/dx+(1+xy³)/(1+x³y)=0，(1+x³y)dy+(1+xy³)dx=0，dy+x³ydy+dx+xy³dx=0，dy+dx+x³ydy+y³xdx=0，d(x+y)+x³y³(dy/y²+dx/x²)=0，d(x+y)-x³y³(-dy/y²-dx/x²)=0，d(x+y)=x³y³d(1/y+1/x)，d(x+y)=x³y³d[(x+y)/xy]；设x+y=u，xy=v，方程化为du=v³d(u/v)，再设u=zv，方程化为d(zv)=v³dz，zdv+vdz=v³dz，zdv=(v³-v)dz，dv/(v³-v)=dz/z，vdv/(v²-1)-dv/v=dz/z，0.5ln|v²-1|-ln|v|=ln|z|+0.5ln|a|(a为任意非零常数)，ln|v²-1|=ln|av²z²|，v²-1=av²z²，有v²-1=au²，微分方程的解为x²y²-1=a(x+y)²请参考

Answer 2

∫(0->2π) (1-cosx)^3 dx
其中(1-cosx)^3
=(1-cosx)(1-cosx)^2
=(1-cosx)(1-2cosx+(cosx)^2)
=1-2cosx+(cosx)^2-cosx+2(cosx)^2-(cosx)^3
=1-3cosx+3(cosx)^2-(cosx)^3
一个个来
1、
∫1dx=x
2、
∫3cosx dx=3sinx
3、
∫3(cosx)^2=3∫[(cos2x)+1]/2 dx
=(3/4)∫(cos2x+1) d2x
=(3/4)(sin2x+2x)
4、
∫(cosx)^3 dx=∫(cosx)^2 dsinx
=∫[1-(sinx)^2]dsinx
=sinx-[(sinx)^3]/3
所以
原式={x-3sinx+(3/4)(sin2x+2x)-sinx+[(sinx)^3]/3} (0->2π)
=2π-3sin2π+(3/4)(sin4π+4π)-sin2π+[(sin2π)^3]/3
=2π+3π
=5π