幂级数的和函数怎么求?

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2022-12-24 · 专注为您带来别样视角的美食解说
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求幂级数的和函数的方法,通常是:

1、或者先定积分后求导,或先求导后定积分,或求导定积分多次联合并用;

2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要注意的是:运用定积分时,要特别注意积分的下限,否则将一定出错。

柯西准则

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知,级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 :∑un收敛<=>任意给定正数ε,必有自然数N,当n>N,对一切自然数 p,有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε,即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

幂级数它的结构简单 ,收敛域是一个以为中心的区间(不一定包括端点),并且在一定范围内具有类似多项式的性质,在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2],幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1,3],而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

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