Question

三角函数为何要用复指数形式表示？

Answer 1

有时，将三角函数转化为复指数来运算比直接用实数运算更加方便（因为指数求导还是指数，无非就变一下系数）。在运算过程中使用复指数形式，求得复数解后，将其在实轴或虚轴上进行投影，就可化回实数形式。在工程上，这种方法很实用，例如在用传递函数法求耦合运动方程组的解析解时。

比如，在转子模型里，x=wt，把欧拉公式在复平面内画出来后（下图），可以看到coswt是复向量在实轴上的投影，即e^(iwt)的实部。这样，把coswt用e^(iwt)表示，进行复数运算（如解方程），运算完成后，将e^(iwt)用coswt代回，将复数式转化实数式，可得实数结果。

你去看答案，如果最初只是将cosx+isinx中的实部或虚部表达成e^(ix)，计算完成最后再化回三角函数时一定也只是在实轴或虚轴上进行投影。

复指数在复平面上的表示