Question

三角不等式怎么证的？

1三角不等式怎么证的？

2在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。
三角不等式和“在三角形中，必然有两边之和大于第三边”有啥关系呢?我怎么没看出来?

3在三角形中，必然有两边之和“大于”第三边;
既然是严格大于的,那在三角不等式中,却变成了“大于等于”了呢？ \a\+\b\>=\a+b\

谢谢

Answer 1

在平面上，对于任意不同三点A,B,C，有普遍存在的一个不等关系:
|AC|+|BC|>=|AB|
等号成立当且仅当点C在线段AB上

特别的，如果三点不共线，则有任意两边之和大于第三边，证明很简单。利用
欧氏几何公理：两点之间，线段最短

你所说的那个：|a|+|b|>=|a+b|....*
这个东西在不同的地方，有非常丰富的含义。
比如，它对于任意实数a,b都成立，证明也简单。
* 式变形为：|a|+|-b|>=|a-（-b)|....*
考察数轴上两个点a和-b，分别记为A,B, 原点记作O
根据绝对值的几何意义有|AO|=|a|,|BO|=|-b|=|b|,|AB|=|a-（-b)|=|a+b|
于是由上面证过的几何不等式有|AO|+|BO|>=|AB|
也即：|a|+|b|>=|a+b|
等号当且仅当，a,-b在原点两侧，也即a*(-b)>0
即ab<0 考虑到点重合，就有当a=0或b=0时显然成立
于是等号成立当且仅当ab>=0
这就是三角形不等式在实数上的推广。。

另外，还有在向量，复数中也有类似的不等式，证明也是利用三角形不等式
比较强的推广：对任意n个复数z1,z2,....zn
有|z1|+|z2|+|z3|+...+|zn|>=|z1+z2+z3+...+zn|
恒成立
并且等号成立当且仅当这n个复数的幅角主值相等
利用三角形不等式和数学归纳法可以证明

Answer 2

2在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。
三角不等式和“在三角形中，必然有两边之和大于第三边”有啥关系呢?我怎么没看出来?
这个是用线段公理证明的，即在所有连接两点的线段中线段最短。
这个关系：两边之和大于第三边是证明其它一些三角不等式的基础。

Answer 3

Z1的模+z2的模大于等于z1+z2的模
即证