Question

已知函数f(x)=x^3-3ax^2-bx.其中a,b为实数

一：若f(x)在x=1处取的的极值是2求a,b的值
二：若f(x)在区间[-1,2]上为减函数，且b=9a,求a的取值范围

Answer 1

一、因为f(x)=x^3-3ax^2-bx,所以f(x)'=3x^2-6ax-b,
当x=1时，f(1)=2,即1-3a-b=2又因为f(x)在x=1出取得极值，所以
3-6a-b=0,联合以上两式得出a=-2/3,b=1
二、因b=9a,所以f(x)'=3x^2-6ax-9a=3(x-a)^2-3a^2-9a,即f(x)'是以x=a对称轴，开口向上的二次函数。
因为f(x)在区间[-1,2]上为减函数，所以只需满足
f(-1)'<=0, f(2)'<=0解得a>=1

Answer 2

1.f'(x)=3x^2-6ax-b 由题意f(1)=2 f'(1)=0 即3a+b=-1 6a+b=3 a=2/3 b=-1
2.f(x)=x^3-3ax^2-9ax f'(x)=3x^2-6ax-9a f(x)在区间[-1,2]上为减函数
f'(x)在x∈[-1,2]时≤0 3x^2-6ax-9a≤0 x^2-2ax-3a≤0 x^2≤a(2x+3)
x∈[-1,2] 2x+3>0 a≥x^2/(2x+3) 令g(x)=x^2/(2x+3)
g'(x)=(2x^2+6x)/(2x+3)^2 列表略 可知x=-1时g(x)有最大值1 所以a≥1

Answer 3

解：（Ⅰ）由题设可知：f'（1）=0且f（1）=2，
即3-6a-b=01-3a-b=2，
解得a=4\3，b=-5．；
（Ⅱ）∵f'（x）=3x^2-6ax-b=3x^2-6ax-9a，
又f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，
即3x^2-6ax-9a≤0对x∈[-1，2]恒成立，
∴f'（-1）≤0且f′（2）≤0，
即3+6a-9a≤012-12a-9a≤0⇒a≥1a≥4\7⇒a≥1，
∴a的取值范围是a≥1．