Question

高中物理竞赛题

长为2b的轻绳,两端各放一重量为m的小球，中央放一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平面上，绳子处于拉直状态，今给小球M一个冲击，使它获得水平速度v，v的方向与绳垂直，如图：求在两端的小球发生碰撞前绳的张力

Answer 1

在下的见解，如有问题请多指点

3个小球从左到右，依次标记为 1、2、3 号
当2小球向上运动时，左右两边变化情况恰好对称，两绳子拉力水平方向分力相等
合力方向竖直向下，所以 2 号小球水平方向速度始终为 0
对 3 个小球组成的整个系统，在光滑水平面上，重力和支持力平衡，合外力为0，所以

系统动量守恒，机械能守恒，由此求出碰撞前的速度情况
1、3号球碰撞之前可以看作是处在曲线运动上的一点
绳子的拉力提供垂直于绳子方向的分速度所需的向心力

1 由于整体动量守恒，所以水平方向和竖直方向动量也分别守恒
水平方向：假设碰撞之前，1号和3号小球的水平分速度为 v(1x) 、v(3x)
m v(1x) = m v(3x) ，所以 v(1x) = v(3x) ，设为 v(x)
竖直方向：假设碰撞之前，1、2、3 号小球的竖直分速度为 v(1y) 、v(2y)、v(3y)
M v = m v(1y) + M v(2y) + m v(3y)
此时的 3 个竖直分速度一定是相等的，设为 v(y) ，则
M v = ( 2 m + M ) v(t) ，所以 v(y) = M v / ( 2 m + M )
2 由机械能守恒定律
0.5 M v^2 = 0.5 m [ v(x)^2 + v(y)^2 ] + 0.5 M v(y)^2 + 0.5 m [ v(x)^2 + v(y)^2 ]
= m v(x)^2 + ( m + 0.5 M ) v(y)^2
= m v(x)^2 + ( m + 0.5 M ) [ M v / ( 2 m + M ) ]^2
解得 v(x) = v * 根号下[ M / ( 2 m + M ) ]
3 碰撞前 1、3 两球都可看作是处在曲线运动上的一点
绳子的拉力提供垂直于绳子方向的分速度所需的向心力
F = m v(x)^2 / b = [ m M / ( 2 m + M ) ] v^2 / b

在下的思路就是这样了，计算可能会有失误，还请验证

追问

这个问题还是没解决，还不对

Answer 2

• 当两个m小球碰撞前，M球与m球的前后距离不断拉大，从0到b。说明这段过程M球的前进速度一直大于m球的前进速度。

• 当两个m小球碰撞后，M球与m球的前后距离不断缩小，从b到0。说明这段过程M球的前进速度一直小于m球的前进速度。

• 根据以上两个现象，当两个m小球碰撞前的瞬间，如图中时刻时，M球与m球的前进速度一定是相等了。所以，此时绳子中的张力就一定是0。

追问

那你考虑过向心力吗？

追答