Question

高二数学问题，双曲线的

已知f1，f2分别为双曲线的左右焦点，o为原点，A为右顶点，p为双曲线左支上的任意一点若存在最小值12a，则双曲线离心率e的范围是？





Answer 1

PF1=PF2-2a. OA=a

|PF2|^2 / [|PF1|-|OA|]
=|PF2|^2 / [|PF2|-3a]
=[|PF2|^2-9a^2+9a^2] / [|PF2|-3a]
=|PF2|+3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]}
=|PF2|-3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]} +6a

根据基本不等式，在|PF2|-3a>0时，有|PF2|-3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]} >=6a,
|PF2|-3a+{9a^2 / [|PF2|-3a]} +6a>=12a。
当且仅当|PF2|-3a = {9a^2 / [|PF2|-3a]}, 即PF2=6a时能取到=.

当P运动到左顶点时候，PF2取到最小值(PF2)min=a+c, 所以必须满足(PF2)min=a+c>3a,
且(PF2)min=a+c<=6a, 才能保证|PF2|-3a>0, 且能取到PF2=6a.

解得e属于(2,5]。

如果这种方法不理解的话，这里还有一种：
|pf2|-|pf1|=2a |oa|=a
原式可理解为|pf2|^2/(pf2-3a)存在最小值12a
将式子倒过来可得到1/pf2-3a/(pf2^2)
令x=1/pf2 (x<=1/(a+c))
可得到函数y=-3ax^2+x,
其对称轴为1/6a.
|pf2|^2/(pf2-3a)存在最小值12a,
那么函数y=-3ax^2+x应该存在最大值1/12a,
而这个函数恰好在对称轴x=1/6a上取得1/12a。
所以x=1/6a必须在定义域内，所以
1/(a+c)>=1/6a,
解得e<=5

同时，|pf2|^2/(pf2-3a)>=12a>0,
所以
PF1=PF2-2a>a
所以(PF2)min=a+c>3a,
解得e>2

所以e属于(2,5]

Answer 2

亲…你题目没说清楚诶…你看看

追问

不好意思啊