Question

如图在三角形abc中角c等于90度,AC=BA=4,点M是边AC上一动点（于点A,C不重合），点N在边CB的延长线上，

且AM=BN,连接mn交ab于p。
（1）求证：MP=NP
(2)若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域
（3）当三角形BPN是等腰三角形是，求AM的长。

Answer 1

为什么感觉题目有些问题？应该是：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．
（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中
∠MDP＝∠NBP
∠MPD＝∠NPB
DM＝BN
∴△MDP≌△NBP，
∴MP=NP．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB＝4*根号2．
∵MD∥BC，
∴∠AMD=∠C=90°．
在Rt△ADM中，AM=DM=x，
∴AD＝根号2*x．
∵△MDP全等△NBP，
∴DP=BP=y，
∵AD+DP+PB=AB，
∴根号2x+y+y＝4，
∴所求的函数解析式为y＝−−根号2/2x+2根号2，
定义域为0＜x＜4．
答：y与x之间的函数关系式为y＝−根号2/2*x+2根号2，它的定义域是0＜x＜4．

（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN=MD=x．
∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，
∴∠PBN=135°．
∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y．
∴x＝−−根号2/2x+2*根号2，
解得x＝4*根号2−4，

Answer 2

在三角形ABC中,角C等于90度,AC=BC=4,....
(1)
AC=BC,角A=角ABC,
作MQ//CN,交AB于Q,角MQA=角ABC=角A,MQ=MA=NB,角QMP=角N,角MPQ=角NPB,
△MPQ≌△NPC,[AAS]
MP=NP;
(2)
AB²=AC²+BC²=4²+4²=32;
AB=4√2;
AQ=x√2;
QP=BP=y
AQ+QP+BP=AB
x√2+y+y=4√2
y=√2(2-x/2);
(3)
∠PBN>90°,
当三角形BPN是等腰三角形时，只有BP=BN成立，
此时BP=BN=AM=x，QP=BP=x，
AQ+QP+BP=AB
x√2+x+x=4√2
AM=x=4√2/(2+√2)=4√2(2-√2)/(4-2)=4(√2-1);