Question

数学之友第244页第2题，请详细回答，谢谢！

Answer 1

f(x)=[e^(2x)]/2-(a+1)e^x+ax
则，f'(x)=e^(2x)-(a+1)e^x+a
=[(e^x)-1]*[(e^x)-a]
①当a≤0时，(e^x)-a＞0
那么，当f'(x)=0时，(e^x)-1=0；即：x=0
则，当x＞0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减。
此时，f(x)有极小值f(0)=(1/2)-(a+1)=-a-(1/2)；无极大值。

②当0＜a＜1时
f'(x)=0 ===> e^x=1，或者e^x=a
===> x=0，或者x=lna
则：
当x＞0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当lna＜x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＜lna时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。
所以，f(x)有极小值f(0)=-a-(1/2)；极大值f(lna)=(1/2)a²-(a+1)a+alna=-(1/2)a²-a+alna

③当a=1时，f'(x)=[(e^x)-1]²≥0
则f(x)单调递增，无极大极小值

④当a＞1时
f'(x)=0 ===> e^x=1，或者e^x=a
===> x=0，或者x=lna
则：
当x＞lna时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当0＜x＜lna时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＜0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。
所以，f(x)有极小值f(lna)=-(1/2)a²-a+lna；极大值f(0)=-a-(1/2)