Question

已知函数f(x)=1/3x^3-a方x+1/2a(a∈R) 问：若对任意x∈(0,+∞),有f(x)>o恒成立，求a的取值范围，要详解

已知函数f(x)=1/3x^3-a方x+1/2a(a∈R)
问：若对任意x∈(0,+∞),有f(x)>o恒成立，求a的取值范围，要详解

Answer 1

解：f′(x)=x²-a²=0得到x=±a
(1)a>0时，x∈(-∞,-a]∪[a,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈[-a.a]，递减
∵对任意x∈(0,+∞),有f(x)>o恒成立
∴f(0)=1/2a≥0, f(a)=-2/3·a³+1/2a>0
∴0<a<√3
(2)a=0时，f(x)=1/3·x³，对任意x∈(0,+∞),有f(x)>o恒成立
（3）a<0时，x∈(-∞,a]∪[-a,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈[a.-a]，递减
∵对任意x∈(0,+∞),有f(x)>o恒成立
∴f(0)=1/2a≥0, f(-a)=2/3·a³+1/2a>0
∴不存在
∴综上，a的取值范围{0}∪(0,√3)