Question

抛物线y=mx²-4m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC=2OA

（1）求A、B两点的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PAC的内心在x轴上？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

参考答案：

⑴y=mx²-4m

y=m(x²-4)

y=m(x+2)(x-2)

所以A(-2,0),B(2,0)

⑵AB两点关于y轴对称，C点为抛物线顶点。

m＞0,抛物线开口向上，

C点在y轴负半轴上。

OC=2OA,OA=2

所以OC=4，

C点坐标是（0，-4）

抛物线的解析式
y=x²-4

⑶

假设存在点P，使△PAC的内心在x轴上

则此时x轴就是∠PAC的角平分线。

∴C点关于x轴的对称点必在直线PA上。设为C'

∵C(0.-4)

∴C'(0,-4)

∴直线AP过A（-2，0）C'(0，-4)

得到AP的直线方程为y=2x+4

直线AP与二次函数y = x²-4相交于P点

∴有2x+4 = x²-4

解得x=4或-2

当x=4时，y = 12

当x=-2时，y=0 【A点】

∴假设成立。

∴P(4,12)